[区块链] 密码学——椭圆曲线密码算法(ECC)

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  今天在学椭圆曲线密码(Elliptic Curve Cryptography,ECC)算法,本人手里缺少介绍该算法的专业书籍,故在网上查了全都 博文与书籍,但会 大多数博客写的真的是。。。你懂的。。。真不愧是 ‘天下文章一大抄’ 啊! 雷同不说,关键是介绍的都后要很清楚,是我在阅读过程中、产生的全都 难题无法处置!这类:只来句‘P+Q=R’,但会 为哪此等于呢?是根据哪此计算出来的呢? 之后查了什么时间,才发现:这是规定的、是定义!瞬间很是无语!

  好了,不吐槽了,为了方便另一个人 对椭圆曲线密码算法有系统的了解,我分发了几篇较好的博文,并再加了本人的见解!

  [  时间有限、见解不深,如再次出现错误,欢迎指正!]


  比特币使用椭圆曲线算法生成公钥和私钥,选择的是secp256k1曲线。

  椭圆曲线密码学(Elliptic Curve Cryptography) 的缩写。该算法是基于椭圆曲线数学的本身公钥密码的算法,其安全性依赖于椭圆曲线离散对数难题的困难性。

  在ECC流行起来原本,几乎所有的公钥算法后要基于RSA、DSA和DH ———— 基于模运算的可选加密系统。RSA及其友类算法在当前仍非常重要,老是与ECC一同使用。不过,RSA及其友类算法身前的原理很容易解释,因而被广泛理解,这一 简单的实现不可不可以很容易编写出来;但ECC的实现基础对于大多数人来说仍很神秘。

   具体来说,我将触及以下主题:

  1. 数学上的椭圆曲线及相关概念

  2. 密码学中的椭圆曲线

  3. 椭圆曲线上的加密/解密

  4. 椭圆曲线签名与验证签名


一、数学上的椭圆曲线及相关概念

   1.1  从平行线谈起

  平行线,永不相交。不过到了近代这一 结论遭到了质疑。平行线会我太满 在很远很远的地方相交?事实上那末人见到过。全都 “平行线,永不相交”也不假设(另一个人 想想初中学习的平行公理,是那末证明的)。既然可不可以假设平行线永不相交,不可不可以假设平行线在很远很远的地方相交了。即平行线相交于无穷远点P∞(请另一个人 闭上眼睛,想象一下那个无穷远点P∞,P∞是后要很虚幻,着实与其说数学锻炼人的抽象能力,还不如说是锻炼人的想象力)。给个图帮助理解一下:

  

  直线上再次出现P∞点,所带来的好处是所有的直线都相交了,且只哪几个多交点。这就把直线的平行与相交统一了。为与无穷远点相区别把原本平面上的点叫做平常点。

  以下是无穷远点的哪几个性质。

  ▲直线L上的无穷远点上可不可以 哪几个多。(从定义可直接得出)

  ▲平面上一组相互平行的直线有公共的无穷远点。(从定义可直接得出)

  ▲ 平面上任何相交的两直线L1,L2有不同的无穷远点。(但会 L1和L2有公共的无穷远点P ,则L1和L2哪几个多交点A、P,故假设错误。)

  ▲平面上全体无穷远点构成二根无穷远直线。(本人想象一下这条直线吧)

  ▲平面上全体无穷远点与全体平常点构成射影平面。

  1.2  射影平面坐标系

  射影平面坐标系是对普通平面直角坐标系(也不另一个人 初中学到的那个笛卡儿平面直角坐标系)的扩展。另一个人 知道普通平面直角坐标系那末为无穷远点设计坐标,可不可以 表示无穷远点。为了表示无穷远点,产生了射影平面坐标系,当然射影平面坐标系同样能很好的表示旧有的平常点(数学也是“向下兼容”的)。

  另一个人 对普通平面直角坐标系上的点A的坐标(x,y)做如下改造:

  令x=X/Z ,y=Y/Z(Z≠0);则A点可不可以表示为(X:Y:Z)。

  变成了哪几个多参量的坐标点,这就对平面上的点建立了哪几个多新的坐标体系。

  例1:求点(1,2)在新的坐标体系下的坐标。

  解:∵X/Z=1 ,Y/Z=2(Z≠0)∴X=Z,Y=2Z ∴坐标为(Z:2Z:Z),Z≠0。即(1:2:1)(2:4:2)(1.2:2.4:1.2)等形如(Z:2Z:Z),Z≠0的坐标,后要(1,2)在新的坐标体系下的坐标。

  另一个人 不可不可以得到直线的方程aX+bY+cZ=0(想想为哪此?提示:普通平面直角坐标系下直线一般方程是ax+by+c=0)。新的坐标体系不能表示无穷远点么?那要让另一个人 先想想无穷远点在哪里。根据上一节的知识,另一个人 知道无穷远点是两条平行直线的交点。那末,怎样求两条直线的交点坐标?这是初中的知识,也不将两条直线对应的方程联立求解。平行直线的方程是:aX+bY+c1Z =0; aX+bY+c2Z =0  (c1≠c2);

  (为哪此?提示:可不可以从斜率考虑,肯能平行线斜率相同);

  将二方程联立,求解。有c2Z= c1Z= -(aX+bY),∵c1≠c2 ∴Z=0  ∴aX+bY=0;

  全都 无穷远点也不这一 形式(X:Y:0)表示。注意,平常点Z≠0,无穷远点Z=0,但会 无穷远直线对应的方程是Z=0。

  例2:求平行线L1:X+2Y+3Z=0 与L2:X+2Y+Z=0 相交的无穷远点。

  解:肯能L1∥L2 全都 有Z=0, X+2Y=0;全都 坐标为(-2Y:Y:0),Y≠0。即(-2:1:0)(-4:2:0)(-2.4:1.2:0)等形如(-2Y:Y:0),Y≠0的坐标,都表示这一 无穷远点。

  看来这一 新的坐标体系不能表示射影平面上所有的点,另一个人 就把这一 不能表示射影平面上所有点痛 的坐标体系叫做射影平面坐标系。

  1.3  椭圆曲线

  上一节,另一个人 建立了射影平面坐标系,这一 节另一个人 将在这一 坐标系下建立椭圆曲线方程。肯能另一个人 知道,坐标中的曲线是可不可以用方程来表示的(比如:单位圆方程是x2+y2=1)。椭圆曲线是曲线,自然椭圆曲线后要方程。

  椭圆曲线的定义:

  二根椭圆曲线是在射影平面上满足方程---------------------------[1-1]的所有点痛 的集合,且曲线上的每个点后要非奇异(或光滑)的。

  定义详解:

  ▲[1-1] 是Weierstrass方程(维尔斯特拉斯,Karl Theodor Wilhelm Weierstrass,1815-1897),是哪几个多齐次方程。

  ▲ 椭圆曲线的形状,并后要椭圆的。也不肯能椭圆曲线的描述方程,这类于计算哪几个多椭圆周长的方程,故得名。

  另一个人 来看看椭圆曲线是哪此样的。

  

  ▲ 所谓“非奇异”或“光滑”的,在数学中是指曲线上任意这一 的偏导数Fx(x,y,z),Fy(x,y,z),Fz(x,y,z)可不可以 一同为0。肯能你那末学过高 等数学,可不可以原本理解这一 词,即满足方程的任意这一 都占据 切线。

  下面哪几个多方程都后要椭圆曲线,尽管另一个人 是方程[3-1]的形式。

 

 

  肯能另一个人 在(0:0:1)点处(即原点)那末切线。

  ▲椭圆曲线上哪几个多无穷远点O∞(0:1:0),肯能这一 点满足方程[1-1]。

  知道了椭圆曲线上的无穷远点。另一个人 就可不可以把椭圆曲线装到普通平面直角坐标系上了。肯能普通平面直角坐标系只比射影平面坐标系少无穷远点。另一个人 在普通平面直角坐标系上,求出椭圆曲线上所有平常点组成的曲线方程,再再加无穷远点O∞(0:1:0),不就构成椭圆曲线了么?

  另一个人 设x=X/Z ,y=Y/Z代入方程[1-1]得到:

  y2+a1xy+a3y = x3+a2x2+a4x+a6 -------------------------[1-2]

  也也不说满足方程[1-2]的光滑曲线再加哪几个多无穷远点O∞,组成了椭圆曲线。为了方便运算,表述,以及理解,今后论述椭圆曲线将主要使用[1-2]的形式。

  本节的最后,另一个人 谈一下求椭圆曲线这一 的切线斜率难题。

  由椭圆曲线的定义可不可以知道,椭圆曲线是光滑的,全都 椭圆曲线上的平常点后要切线。而切线最重要的哪几个多参数也不斜率k。

  例3:求椭圆曲线方程上,平常点A(x,y)的切线的斜率k。

  解:令F(x,y)= y2+a1xy+a3y-x3-a2x2-a4x-a6

  求偏导数

  Fx(x,y)= a1y-3x2-2a2x-a4

  Fy(x,y)= 2y+a1x +a3

  则导数为:f'(x)=- Fx(x,y)/ Fy(x,y)=-( a1y-3x2-2a2x-a4)/(2y+a1x +a3)

         = (3x2+2a2x+a4-a1y) /(2y+a1x +a3)

  全都  -------------[1-3]

  看不懂解题过程那末关系,记住结论[1-3]就可不可以了。



  1.4  椭圆曲线上的加法

  上一节,另一个人 肯能看一遍了椭圆曲线的图象,但点与点之间好象那末哪此联系。另一个人 可不可以建立哪几个多这类于在实数轴再加法的运算法则呢?天才的数学家找到了这一 运算法则

  自从近世纪代数学引入了群、环、域的概念,使得代数运算达到了淬硬层 的统一。比如数学家总结了普通加法的主要形状,提出了加群(也叫交换群,或Abel(阿贝尔)群),在加群的眼中。实数的加法和椭圆曲线的上的加法那末哪此区别。这他说也不数学抽象把:)。关于群以及加群的具体概念请参考近世代数方面的数学书。

  运算法则:任意取椭圆曲线上两点P、Q (若P、Q两点重合,则做P点的切线)做直线交于椭圆曲线的另这一 R’,过R’做y轴的平行线交于R。另一个人 规定P+Q=R。(如图)

  法则详解:

  ▲这里的+后要实数中普通的加法,也不从普通加法中抽象出来的加法,他具备普通加法的这一 性质,但具体的运算法则显然与普通加法不同。

  ▲根据这一 法则,可不可以知道椭圆曲线无穷远点O∞与椭圆曲线上这一 P的连线交于P’,过P’作y轴的平行线交于P,全都 有 无穷远点 O∞+ P = P 。原本,无穷远点 O∞的作用与普通加法中零的作用相当(0+2=2),另一个人 把无穷远点 O∞ 称为 零元。一同另一个人 把P’称为P的负元(简称,负P;记作,-P)。(参见下图)

  ▲根据这一 法则,可不可以得到如下结论 :肯能椭圆曲线上的哪几个多点A、B、C,占据 同二根直线上,那末另一个人 的和等于零元,即A+B+C= O∞

同老是线上的哪几个多点之和等于0.

  注:另一个人 上可不可以 的也不哪几个多点同线,与点的次序无关。这原应 ,肯能P、Q和R同线,那末P + (Q + R) = Q + (P + R) = R + (P + Q) = • • • = 0. 原本,另一个人 直观地证明了另一个人 的“+”运算既满足结合律也满足交换律。  

  ▲k个相同的点P相加,另一个人 记作kP。如下图:P+P+P = 2P+P = 3P。

  下面,另一个人 利用P、Q点的坐标(x1,y1),(x2,y2),求出R=P+Q的坐标(x4,y4)。

  例4:求椭圆曲线方y2+a1xy+a3y = x3+a2x2+a4x+a6上,平常点P(x1,y1),Q(x2,y2)的和R(x4,y4)的坐标。

  解:(1)先求点-R(x3,y3)

  肯能P,Q,-R三点共线,故设共线方程为y=kx+b,其中

  若P≠Q(P,Q两点不重合) 则

  直线斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)

  若P=Q(P,Q两点重合) 则直线为椭圆曲线的切线,故由例3.1可知:

  k=(3x2+2a2x+a4 -a1y) /(2y+a1x+a3)

  但会 P,Q,-R三点的坐标值也不方程组:

  y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6    -----------------[1] 

  y=(kx+b)                     -----------------[2]

的解。

  将[2],代入[1] 有

  (kx+b)2+a1x(kx+b)+a3(kx+b) =x3+a2x2+a4x+a6    --------[3]

  对[3]化为一般方程,根据三次方程根与系数关系(当三次项系数为1时;-x1x2x3 等于常数项系数, x1x2+x2x3+x3x1等于一次项系数,-(x1+x2+x3)等于二次项系数。)

  全都 -(x1+x2+x3)=a2-ka1-k2

  x3=k2+ka1+a2+x1+x2;---------------------求出点-R的横坐标

  肯能k=(y1-y3)/(x1-x3) 故

  y3=y1-k(x1-x3);-------------------------------求出点-R的纵坐标

  (2)利用-R求R

  显然有 x4=x3= k2+ka1+a2+x1+x2; ------------求出点R的横坐标

  而y3 y4 为 x=x4时 方程y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6的解

  化为一般方程y2+(a1x+a3)y-(x3+a2x2+a4x+a6)=0 , 根据二次方程根与系数关系得:

  -(a1x+a3)=y3+y4

  故y4=-y3-(a1x+a3)=k(x1-x4)-y1-(a1x4+a3); ---------------求出点R的纵坐标

  即:

  x4=k2+ka1+a2+x1+x2;

  y4=k(x1-x4)-y1-a1x4-a3;

  本节的最后,提醒另一个人 注意这一 ,原本提供的图像肯能会给另一个人 产生本身错觉,即椭圆曲线是关于x轴对称的。事实上,椭圆曲线那末多一定关于x轴对称。如下图的y2-xy=x3+1


二、密码学中的椭圆曲线 

  另一个人 现在基本上对椭圆曲线有了初步的认识,这是值得高兴的。

  但请另一个人 注意,前面学到的椭圆曲线是连续的,并不适合用于加密全都 ,另一个人 上可不可以 把椭圆曲线变成离散的点, 要把椭圆曲线定义在有限域上

  让另一个人 想一想,为哪此椭圆曲线为哪此连续?是肯能椭圆曲线上点的坐标,是实数的(也也不说前面讲到的椭圆曲线是定义在实数域上的),实数是连续的,原应 了曲线的连续。但会 ,另一个人 要把椭圆曲线定义在有限域上(顾名思义,有限域是本身上可不可以 由有限个元素组成的域)。

  域的概念是从另一个人 的有理数,实数的运算中抽象出来的,严格的定义请参考近世代数方面的数。简单的说,域中的元素同有理数一样,有本人得加法、乘法、除法、单位元(1),零元(0),并满足交换率、分配率。

  下面,另一个人 给出哪几个多有限域Fp,这一 域上可不可以 有限个元素。

   

  Fp中上可不可以 p(p为素数)个元素0,1,2 …… p-2,p-1;

  Fp 的加法(a+b)法则是 a+b≡c (mod p);即,(a+b)÷p的余数 和c÷p的余数相同。

  Fp 的乘法(a×b)法则是  a×b≡c (mod p);

  Fp 的除法(a÷b)法则是  a/b≡c (mod p);即 a×b-1≡c  (mod p);(b-1也是哪几个多0到p-1之间的整数,但满足b×b-1≡1 (mod p) )。

  Fp 的单位元是1,零元是 0。

  一同,并后要所有的椭圆曲线都适合加密。y2=x3+ax+b是一类可不可以用来加密的椭圆曲线,也是最为简单的一类。下面另一个人 就把y2=x3+ax+b(mod p) 这条曲线定义在Fp上:

  选择哪几个多满足下列条件的小于p(p为素数)的非负整数a、b

  4a3+27b2≠0 (mod p)

  则满足下列方程的所有点痛 (x,y),再再加 无穷远点O∞ ,构成二根椭圆曲线。

  y2=x3+ax+b  (mod p)

  其中x,y∈[0,p-1]的整数,并将这条椭圆曲线记为Ep(a,b)。

  另一个人 看一下y2=x3+x+1  (mod 23)的图像

  是后要着实不可思议?椭圆曲线,为甚在么在变成了这般模样,成了哪几个多哪几个多离散的点?

  椭圆曲线在不同的数域中会呈现出不同的样子,但其本质仍是二根椭圆曲线。举哪几个多不太恰当的例子,好比是水,在常温下,是氯化氢液体;到了零下,水就变成冰,成了氯化氢液体;而温度上升到一百度,水又变成了水蒸气。但其本质仍是H2O。

  Fp上的椭圆曲线同样有加法,但肯可不可以给以几何意义的解释。不过,加法法则和实数域上的差那末来太满,请读者自行对比。

  1. 无穷远点 O∞是零元,有O∞+ O∞= O∞,O∞+P=P

  2. P(x,y)的负元是 (x,-y),有P+(-P)= O∞

  3. P(x1,y1),Q(x2,y2)的和R(x3,y3) 有如下关系:

  x3≡k2-x1-x2(mod p) 

  y3≡k(x1-x3)-y1(mod p)

  其中若P=Q 则 k=(3x2+a)/2y1  若P≠Q,则k=(y2-y1)/(x2-x1)

  例5: 已知椭圆曲线已知E23(1,1)上两点P(3,10),Q(9,7),求(1)-P,(2)P+Q,(3) 2P

          

        

解:

      

  最后,另一个人 讲一下椭圆曲线上点的阶。

  肯能椭圆曲线上这一 P,占据 最小的正整数n,使得数乘nP=O∞,则将n称为P的 阶,若n不占据 ,另一个人 说P是无限阶的。

  事实上,在有限域上定义的椭圆曲线上所有的点的阶n后要占据 的。

       

  计算可得27P=-P=(3,13)

  全都 28P=O ∞ P的阶为28

  哪此点做成了哪几个多循环阿贝尔群,其中生成元为P,阶数为29。显然点的分布与顺序后要杂乱无章


三、椭圆曲线上的加密/解密

  公开密钥算法老是要基于哪几个多数学上的难题。比如RSA 最好的依据的是:给定哪几个多素数p、q 很容易相乘得到n,而对n进行因式分解却相对困难。那椭圆曲线上有哪此难题呢?

  考虑如下等式:

  K=kG  [其中 K,G为Ep(a,b)上的点,k为小于n(n是点G的阶)的整数]

  不难 发现,给定k和G,根据加法法则,计算K很容易;但给定K和G,求k就相对困难了。

  这也不椭圆曲线加密算法采用的难题。

  另一个人 把点G称为基点(base point),

  k(k<n,n为基点g的阶)称为私有密钥(privte key),

  k称为公开密钥(public="" key)。<="" p="">

  现在另一个人 描述哪几个多利用椭圆曲线进行加密通信的过程:

  1、用户A选定二根椭圆曲线Ep(a,b),并取椭圆曲线上这一 ,作为基点G。

  2、用户A选择哪几个多私有密钥k,并生成公开密钥K=kG。

  3、用户A将Ep(a,b)和点K,G传给用户B。

  4、用户B接到信息后 ,将待传输的明文编码到Ep(a,b)上这一 M(编码最好的依据全都 ,这里不作讨论),并产生哪几个多随机整数r(r<n)。

  5、用户B计算点C1=M+rK;C2=rG。

  6、用户B将C1、C2传给用户A。

  7、用户A接到信息后,计算C1-kC2,结果也不点M。

  肯能C1-kC2=M+rK-k(rG)=M+rK-r(kG)=M再对点M进行解码就可不可以得到明文。

  在这一 加密通信中,肯能哪几个多偷窥者H ,他上可不可以 看一遍Ep(a,b)、K、G、C1、C2 而通过K、G 求k 或通过C2、G求r 后要相对困难的。但会 ,H无法得到A、B间传送的明文信息。

总结:   

设私钥、公钥分别为k、K,即K = kG,其中G为G点。   公钥加密:   选择随机数r,将消息M生成密文C,该密文是哪几个多点对,即:   C = {rG, M+rK},其中K为公钥   私钥解密:   M + rK - k(rG) = M + r(kG) - k(rG) = M   其中k、K分别为私钥、公钥。

       ECC技术要求:

  密码学中,描述二根Fp上的椭圆曲线,常用到哪几个参量:

       T=(p,a,b,G,n,h)。

  (p 、a 、b 用来选择二根椭圆曲线,G为基点,n为点G的阶,h 是椭圆曲线上所有点痛 的个数m与n相除的整数每项)

  这哪几个参量取值的选择,直接影响了加密的安全性。参量值一般要求满足以下哪几个条件:

  1、p 当然越大越安全,但越大,计算淬硬层 会放慢,500位左右可不可以满足一般安全要求;

  2、p≠n×h;

  3、pt≠1 (mod n),1≤t<20;

  4、4a3+27b2≠0 (mod p);

  5、n 为素数;

  6、h≤4。


四、椭圆曲线签名与验证签名

   椭圆曲线签名算法,即ECDSA。

  设私钥、公钥分别为k、K,即K = kG,其中G为G点。

 

  私钥签名:

  1、选择随机数r,计算点rG(x, y)。

  2、根据随机数r、消息M的哈希h、私钥k,计算s = (h + kx)/r。

  3、将消息M、和签名{rG, s}发给接收方。

 

  公钥验证签名:

  1、接收方收到消息M、以及签名{rG=(x,y), s}。

  2、根据消息求哈希h。

  3、使用发送方公钥K计算:hG/s + xK/s,并与rG比较,如相等即验签成功。

 

  原理如下:

  hG/s + xK/s = hG/s + x(kG)/s = (h+xk)G/s

  = r(h+xk)G / (h+kx) = rG


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REFERENCE

1.巴比特论坛 作者:ZMWorm http://8btc.com/article-138-1.html

2.张禾瑞,《近世代数基础》,高等教育出版社,1978

3.闵嗣鹤 严士健,《初等数论》,高等教育出版社,1982

4. ECC详解 https://www.cnblogs.com/Kalafinaian/p/73925005.html